UC知道两道数学题（高二的内容）
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 11:40:21
1.已知正数a、b、c成等比数列，比较：a^2-b^2+c^2与(a-b+c)^2的大小关系。（“^2”代表平方，下面的题也是如此）
2.若p、q∈正整数、x>0且x≠1则1+x^(p+q)与x^p+x^q的大小关系。
2.若p、q∈正整数、x>0且x≠1则1+x^(p+q)与x^p+x^q的大小关系。
正数a、b、c成等比数列，所以b^2＝ac，(a-b+c)^2＝a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac＝a^2-b^2+c^2+(-2ab-2bc+4ac)＝a^2-b^2+c^2+2b(2b-a-c)，现在只需要比较2b和a+c的大小。对于任意正数项等比数列：a、aq、aq^2，a＋aq^2-aq＝a(1-q+q^2)＝a[(q-1/2)^2+3/4]>0。所以a+c>2b，所以2b-a-c<0，所以2b(2b-a-c)<0，那么显然就有a^2-b^2+c^2>(a-b+c)^2
作差：1+x^(p+q)-(x^p+x^q)＝(1-x^p)(1-x^q)，0<x<1时，有x^p和x^q同时小于1，所以(1-x^p)(1-x^q)>0，1+x^(p+q)>(x^p+x^q)；
x>1时，有x^p和x^q同时大于1，所以(1-x^p)(1-x^q)>0，1+x^(p+q)>(x^p+x^q)；
综上，1+x^(p+q)>(x^p+x^q)