数学数列特征方程的原理

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一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2X
设r，s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn]
所以X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn

C1=s+r
C2=-sr
消去s就导出特征方程式r*r-C1*r-C2=0

数列 {a(n)}，设递推公式为 a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为 x^2-px-q=0 .
若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同)
若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*A^n

回答者SKY9314 的回答准确来说是以上部分内容的证明过程：

设 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。

然后进一步证明那个通项公式：

如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
两边同时除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (