如何证明西摩松线定理

西摩松(Simson)定理
三角形外接圆上一点作三边的垂线,则其三垂足共线,此线称为西摩松线
ΔABC之外接圆上有一点P,向作垂线,得垂足分别是D,E,F,证明:D,E,F三点共线.
【证明1】:如图连接,若能证明,就等於证明了於是D,E,F共线
∵BEP=90=BDP,∴B,E,P,D四点共圆.因而BED =BPD…(1)
同理C,F,E,P四点也共圆,因而FEC=CFP…………………………(2)
在ΔBDP和ΔCFP中BDP=90=CFP,PBD=PCA……………(3)
(因为A,B,P,C共圆)所以BPD=FPC
由(1)(2)(3)得 BED= FEC所以D,E,F,三点在同一条直线上.
(这一条直线叫做ΔABC关於P点的西摩松线)
西摩松(Simson)定理的逆定理
从一点P向ΔABC三边的直线作垂线,若三个垂足D,E,F在同一条直线上,则P在ΔABC的外接圆上.
【证明】:
如图所示,本题只要证明: PCE=PBA,如此, ACP与 ABP互为补角.
四边形ABPC内接於一圆(即P在ABC的外接圆上)
PBF与 PCE中, PFB=90 = PEC, BPF= BDF(因为P,B,F,D四点共圆)
= CDE(因为F,D,E三点共线)= CPE(因为P,D,C,E四点共圆).
因此 PCE= PBE= PBA所以四边形ABPC内接於一圆

参考资料：http://163.21.9.204/t169/file/Simson%A6%E8%BC%AF%AAQ%A9w%B2z.doc
绝对正确，给我分吧

西摩松(Simson)定理
三角形外接圆上一点作三边的垂线,则其三垂足共线,此线称为西摩松线
ΔABC之外接圆上有一点P,向作垂线,得垂足分别是D,E,F,证