梯形中位线扩展

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 01:39:27
有点像中位线，反正各位先生帮一下忙吧
已知一梯形ABCD，上底长7，下底长15．角B加角C等于90度．E是上底的中点，F是下底的中点，连接EF．求EF的长．（需详细的证明，愈详愈好）
有劳各位了．
上底是AD，下底是BC

解：过点E作EM平行于AB，EN平行于DC。
∵AD平行于BC
∴四边形ABME与四边形DCNE为平行四边形
且角EMN等于角B，角ENM等于角C
∵角B与角C互为余角
∴角EMN与角ENM互为余角
即角MEN为直角
∵点E与点F分别二等分AD与BC
∴BM=AE=CN=DE=3.5
BF=CF=7.5
∴MF=BF-BM=4
NF=CF-CN=4
即MF=NF=4
在直角三角形MEN中，EF为斜边MN的中线。
∴EF=MN/2=（MF+NF）/2=4
分析：本题所作的辅助线目的是为了构造直角三角形，并将EF化归为该直角三角形的斜边的中线，既而依据推论“直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半”导出EF的长度。将一定的条件以最优化的思维进行化归，亦即发现并把握条件的优势是优选法的关键。

延长CD,BA交于k
kda相似于kcb
ef=kf-ke
有三角形中位线定理可知kf=fb=0.5bc
故ef=0.5(bs-da)=4

延长BA和CD相交于G点
因为角B加角C等于90度
所以角BGC是90度
BGC是rt三角形
连接GF
GF与AD相交E'点
由于E'D平行于FC
所以E'D/FC=GE'/GF
同样可以证得
AE'/BF=GE'/GF
所以AE'/BF=E'D/FC
FC=BF所以
AE'=E'D
E'和E重合
根据rt三角形
斜边中线等于斜边的一半
GE=0.5*AD=3.5
GF=0.5*BC=7.5
EF=GE-GF=4
得到结果EF=4

想说明的一点，就是GEF必须要证明三点共线
否则EF=GE-GF不能成立