UC知道高中数不难题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/22 05:17:03
f(x)是定义在R上的奇函数,且满足如下两个条件:
(1)对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y);
(2)当x>0时,f(x)<0且f(1)=-2.
求函数f(x)在[-3,3]上的最大值.
请帮忙写解题过程!
(1)对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y);
(2)当x>0时,f(x)<0且f(1)=-2.
求函数f(x)在[-3,3]上的最大值.
请帮忙写解题过程!
由已知,对任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y); 令y=0,则有f(x+0)=f(x)+f(0)
所以f(0)=0,设x1>x2>0,则有f(x1-x2)+f(x2)=f(x1)
因为x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),也就是函数在(0,+∞)是减函数,又x>0时,f(x)<f(0),所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,由于函数是奇函数,故当x<0时,f(x)=-f(-x)>0
设x1<x2≤0,则有-x1>-x2≥0,所以f(-x1)<f(-x2),即-f(x1)<-f(x2),f(x1)>f(x2),故函数在(-∞,0)上是减函数,因此当x=-3时f(x)在[-3,3]取得最大值f(-3),f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1+1)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6