X＾＋Y＾＋4X－2Y－20＝0，求经过点P（3，－9）与圆相切的直线方程

设圆x²+y²+4x-2y-20=0的圆心为Q,所求的两个切点为A,B,PQ交AB于M
x²+y²+4x-2y-20=0得(x+2)²+(y-1)²=5²
该圆的圆心坐标为Q(-2,1),半径为5
点Q(-2,1)与点P(3,-9)所在直线的方程PQ为y=-2x-3,斜率为-2
|PQ|=√[(3+2)²+(-9-1)²]=5√5
|PA|=|PB|=√(|PQ|²-|QA|²)=√[(5√5)²-5²]=10
设y=-2x-3的倾斜角为α,则有tanα=-2
由平面几何知识易知PQ垂直平分|AB|
AB斜率为tan(π/2+α)=-cotα=1/2
设AB的方程为y=x/2+b
|PA|•|QA|=|PQ|•|MA|
得|MA|=|PA|•|QA|/|PQ|=10•5/5√5=2√5
由射影定理易知|QM|=√5,|PM|=4√5
设M(m,-2m-3),m∈(-2,3)
|QM|²=(m+2)²+(-2m-3-1)²=5
m²+4m+3=0
(m+1)(m+3)=0
得m=-1
M(-1,-1)
代入AB:y=x/2+b得b=-1/2
AB:y=x/2-3/2
代入x²+y²+4x-2y-20=0得
x²+(x/2-1/2)²+4x-2(x/2-1/2)-20=0
x²+2x-15=0
(x+5)(x-3)=0
x1=-5,x2=3
y1=-5/2-1/2=-3,y2=3/2-1/2=1
A(-5,-3),B(3,1)
切线PA:y=-3x/4-27/4
切线PB:x=3
与圆相切的直线方程为y=-3x/4-27/4和x=3

其实没有必要那么复杂,用判别式等于0解更是有一个高次