一道高数题!

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 20:44:08
已知函数y=f(x)有二阶连续导数,且曲线有拐点(x。,f(x。)),则
lim(u→0)[f(x。+2u)+f(x。-2u)-2f(x)]/u^2等于?
答案是0!可是应该怎么解呢?
lim(u→0)[f(x。+2u)+f(x。-2u)-2f(x)]怎么等于0呢?
我只能得到2f(x。)-2f(x)啊!希望详解

利用罗比塔法则求解。
(x。,f(x。))是拐点说明f'(x。)=0,f''(x。)=0
又
lim(u→0)[f(x。+2u)+f(x。-2u)-2f(x)]=0
lim(u→0)[u^2]=0

根据罗比塔法则分子分母同时对u求导

lim(u→0)[f(x。+2u)+f(x。-2u)-2f(x)]/u^2
=lim(u→0)[2f’(x。+2u)-2f’(x。-2u)]/2u
=lim(u→0)[f’(x。+2u)-f’(x。-2u)]/u

又
lim(u→0)[f’(x。+2u)-f’(x。-2u)]
=f'(x。)-f'(x。)
=0
lim(u→0)[u]=0
再次分子分母对u求导
lim(u→0)[f’(x。+2u)-f’(x。-2u)]/u
=lim(u→0)[2f’'(x。+2u)+2f’'(x。-2u)]/1
=4f’'(x。)
=0