一题数学的证明题

2k-1，2k+1中必有一个为4k+3形式，下面证明4k+3不能表示成两完全平方数之和
假设存在两数平方和为4k+3，必为一奇一偶，即
(2m+1)^2+(2n)^2=4k+3,但(2m+1)^2+(2n)^2=4m^2+4m+4n^2+1=4(m^2+m+n^2)+1，矛盾

此题应使用反证法。
假设命题成立，那么2k-1可表示为m^2+n^2 ,且2k+1可表示为x^2+y^2
那么2k-1=m^2+n^2
2k+1=x^2+y^2
得出（2k+1）*（2k-1）=（m^2+n^2）*（x^2+y^2）=4（k^2)-1

对于任意一个整数t，t≡1或2或3或0(MOD4) (这个知道吗?就是任何一个整数除以4所得余数必定为1,2,3,0中间的一个)
那么(t^2)≡ 1或(2^2)或(3^2)或0 ≡ 0或1

根据这个结论,等式右边的4（k^2)-1除以4所得余数应该为3,这不难证明.
但是左边的（m^2+n^2）*（x^2+y^2）这部分却是怎么也得不出余数为3的积的.因为m^2、n^2、x^2、y^2都满足t^2的形式,他们除以4的余数都为0或者1,枚举所有可能的结果就可以知道（m^2+n^2）*（x^2+y^2）这个式子无论如何不可能凑出余数3来.

因为等式左边≠等式右边(MOD4),所以原等式不成立,所以命题不成立.
那么这题就作好了,呵呵~