数学高手来：用定义证明f(x)=x的3次方-3x 在区间[0，1]上是减函数

已知奇函数f(x)在定义域[-2,2]内是减函数,则不等式f(1-x)+f(3-2x)>0的解集是

原不等式就是 f(1-x)>-f(3-2x)=f(2x-3)

考虑到f(x)是奇函数 有 -f(3-2x)=f(2x-3)

所以原不等式就是 f(1-x)>f(2x-3)

得到不等式组 -2≤1-x≤2 -2≤2x-3≤2 1-x<2x-3

解上面的不等式 得到 4/3 < x ≤5/2

用定义证明f(x)=x的3次方-3x 在区间[0，1]上是减函数

设 0≤x1<x2≤1

f(x1)-f(x2)==x1^3-3x1 - x2^3 +3x2
==(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)-3(x1-x2)
==(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-3)

因为 x1，x2都小于1 所以x1^2+x1x2+x2^2 <3 x1-x2<0

所以f(x1)-f(x2)>0
所以 f(x)是减函数

在区间上任取
0<=x1<x2<=1
f(x1)-f(x2)
=x1³-3x1-x2³+3x2
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)+3(x2-x1)
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²-3)
x1-x2<0
x1^2+x1x2+x2²-3<0
所以f(x1)>f(x2)
所以是减函数