UC知道高等数学极限
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 11:55:36
1.原来学的函数极限定义(趋向于有限值)是当x无限趋向于c时,若f(x)无限趋向于L,那么limf(x)(x->c)=L.形式定义则是:对于任意ε>0,总存在δ>0,当0＜/x-c/＜δ时，/f(x)-L/＜ε,那么limf(x)(x->c)=L.也就是f(x)可以无限趋向于L,即ε无限小;可是形式并没有规定x趋向于c,因为定义只说存在δ,而并没有说δ随着ε变小呀?形式定义是不是不完全呢?举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了,和原来的定义矛盾了.我是想问形式定义中哪里体现了x趋向c这个概念的.
2.在一些用形式定义证明极限的题中,答案总是给为"=min{,}",我不太明白为什么要去其中一个最小的值?
例:证lim(x^2-9)(x->3)=0
取δ=1,解得δ=min{1,ε/7}
为什么要去最小的呢?这个答案是当δ=1时的,当δ为其他值或者ε为任意实数时这个答案都成立么,为什么?
我数学不是很好,谢谢大家了.
1.对于极限来说，就引用你说的：
举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了
最后一句不对，x并没有远离c，而是x的取值范围宽了，是这个范围内的所有x都满足，当然小范围的也满足，也就是说δ可以取的稍大一些都满足了，取小一点也就满足了
对于无限小的一个ε，只要存在δ，0＜/x-c/＜δ时满足，那么对于所有0<u<δ,当0＜/x-c/＜u时也满足/f(x)-L/＜ε
举个特例f(x)=3显然有limf(x)(x->c)=3
不管ε取多大，δ取任意正值都满足，当然δ取很小的时候也应该满足
2.取δ=1只是一个假设，用来做验证的，看δ=1满不满足，还需什么条件
在取δ=1以后，就是先假定0＜/x-3/＜1时成立，然后进行推导发现，除了要满足0＜/x-3/＜1以外，还必须满足0＜/x-3/＜ε/7就可以做到/f(x)-L/＜ε
即0＜/x-3/＜min{1,ε/7}时就是δ=min{1,ε/7}时/f(x)-L/＜ε必成立
像1里说的δ还可以取更小的值也都是对的
注意两点：
一是“任意”二字，对于任意的ε>0都可以,保证ε可以取足够小的值；
二是 0<|x-c|<δ这个范围。不是δ1<|x-c|<δ2，前面是大于0，而不是大于某个正数，也不能等于0，保证自变量取值范围是在c的去心邻域。
使用定义，证明lim(1/x)(x->0)时无极限
若有极限，设lim(1/x)(x->0)=L
先讨论x>0时的情况。若|1/x-L|<ε，当L>ε时，x取值范围为1/(L+ε)<x<1/(L-ε)；当L<ε时，x取值范围为x>1/(L+ε)。因此找不到δ，使得0<|x|<δ时|1/x-L|<ε总是成立，因为0<x<1/(L+ε)时|1/x-L|<ε不成立，就是说0<|x|<δ至少有部分区间不能使|1/x-L|<ε成立，这与