高手来解题（高2数学）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 23:22:25
过点P（1，4）引一条直线和两坐标轴正向围成的三角形面积最小时，求直线的斜率。
答案是: -4

设该直线与x轴y轴正半轴分别交于PQ两点 设角OPQ=x
显然角OPQ为锐角,tanx>0
则S△OPQ=OP*OQ/2=(4/tanx+1)(tanx+4)/2
(分别将OP.OQ过P做坐标轴平行线分成两部分求)
S最小,即(4/tanx+1)(tanx+4)/2最小
即(4/tanx+1)(tanx+4)=4+16/tanx+tanx+4最小
即16/tanx+tanx最小
又16/tanx+tanx≥2*开根[(16/tanx)*tanx]=8
取等号时原式最小,此时16/tanx=tanx 即tanx=4 或tanx=-4(舍)
因tanx=4,该直线的倾斜角为π-x
故tan(π-x)=-tanx=-4