（α1，α2...αr）是线性无关向量组，（β1..βr）=（α1..αr）A，证明r（A）=r（β1....βr）

证明r（A）<=r（β1....βr）且r（A）>=r（β1....βr）
以c1,c2,…，cr（打不出希腊字母）表示A的行向量，设其中一组基为c1,c2,…,ck(k<=r)，则显然，β1..βr均可由β1..βk线性表出，从而r（β1....βr）<=k=r（A）>
同时，若β1..βk为β1..βr一组极大线性无关向量，则β（k+1）…βr可由β1..βk线性表出，此时容易看出c1,c2,…,ck为c1,c2,…，cr的一组极大线性无关向量，否则β1..βk线性相关。从而r（A）<=r（β1....βr
综上，命题成立。