在三角形ABC中,AB=AC,延长BC至D,使得CD=BC,CE垂直于BD交AD于E,连结BE交AC于F,求证AF=FC

过A做AG⊥BC交BE于H，交BC于G，连接CH∵AG⊥BC CE⊥BD∴AG∥CE
∴∠CAG=∠ACE又∵AB=AC AG⊥BC 即∠HGB=∠HGC=90°
HG=GH∴△BHG≌△CGH∴∠EBD=∠HCB∵CD=BC CE⊥BD即∠ECD=∠ECB=90°
EC=EC∴△BCE≌△CDE∴∠ADB=∠EDB=∠HCB∴∠HCE=∠ECB-∠HCE=90°-∠HCB
∠DAG=∠AGD-∠ADB=90°-∠ADB=90°-∠HCB即∠HCE=∠DAG∴∠HCE-∠ACE=∠DAG-∠CAG
即∠HCA=∠CAE∴AE∥HC∴AECH是平行四边形
∴AF=FC

AB=AC, 所以 角ABC=角FCB
BC=CD, 且EC垂直于BC, 所以EB=ED, 所以 角EBC=角EDB
三角形ABC与三角形FCB有两个角角度相等，因此三角形ABC与三角形FCB相似。BD和BC为相似边。
因为BC=1/2BD,所以FC=1/2AB,因为AB=AC,所以FC=1/2AC，所以
AF=FC