I'll buy you a coat.buy后面可以直接跟宾语吗？给谁买东西句型不是buy sth for sb吗？

可以
buy sth for sb= buy sb sth
类似还有send/give/show sb sth=send/give/show sth to sb

这是buy后面跟双宾语的形式，buy sb. sth.，一个是间接宾语，一个是直接宾语，也可以像你所说的buy sth for sb.，意思一样，没错。

当然可以。
Buy sth for sb也没有错
这个句子可以写成：
Iwill buy a coat for you.
但buy sb sth也可以的。
信我拉

you are quite right.