一道数学归纳法的题，要求讲出让我看得懂的道理

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/11 20:43:46
若a1>0,a1不等于0，a（n+1）=2an/(1+an),n是正整数，令a1=0.5.写出a2,a3,a4,a5的值，观察归纳出这个数列的通项公式an

PS:an、a1、a(n+1)的n和1和（n+1)及后面a后的数字都是数列的下标

通过计算得：
a1=1/2
a2=2/3
a3=4/5
a4=8/9
a5=16/17
...
首先观察到每项的分母都比分母大1，然后发现分子是首项为1，公比为2的等比数列，这样就能猜测：
an=2^(n-1)/[1+2^(n-1)]
以下是证明：
（1）当n=1时，a1=1/2=2^0/(1+2^0),成立；
（2）假设当n=k时成立，即
ak=2^(k-1)/[1+2^(k-1)]
当n=k+1时，
a(k+1)=2ak/(1+ak)
=2^k/(1+2^k)----中间过程是将ak=2^(k-1)/[1+2^(k-1)]代入化简
=2^(k+1-1)/[1+2^(k+1-1)]----统一形式
故当n=k+1时也成立
（3）综上所述，an=2^(n-1)/[1+2^(n-1)]