数学.无界变量不一定无穷大.如Y=1/Xsin1/X是无界变量,但不是无穷大?

有意思的问题。
无穷大的概念是，变量y=f(x)在某个变化过程中，任给定大正数M>0,总存在这样的数X，当│x│>X时，有│f(x)│>M恒成立。实际上，这要求f(x)具有某种性质，即f(x)变化具有一致连续性，否则我们无法确保│x│>X时，有│f(x)│>M一定会成立。所以，对于震荡函数来说，x的变化引起f(x)的变化不是一致连续的，而是震荡和跳跃式。
y=1/xsin1/x，x趋向0与y=xsinx,x趋向无穷大等价。显然，y=xsinx的变化不连续，x的微小变化可以引起y的很大变化，无规律可循。但另一方面对于xsinx>M，我们确实可以找到满足条件的x，只是无法保证以后的x都成立罢了。所以，y=xsinx虽然是无界，但不是无穷大。

无界变量：设函数的定义域为，如果存在正数，使得，，则称函数在上有界，如果这样的不存在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界．
无穷大量：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当（或）时的无穷大．
注意相互关系: 无穷大变量一定是无界变量, 无界变量不一定是无穷大变量.

要是无穷大的话，前提是极限存在。然而，该例中的Y是震荡类型函数，x->0的极限不存在。但确是无界的，故有此说。

实际上，数学上记lim[x->0]Y = ∞
注意这里是∞，而不是+∞

无穷大的定义是在趋向的某一过程中，极限趋于无穷，sin1/X属于震荡类型函数，所以不是