已知f（x）＝x（x－1）（x－2）...(x－n）求f'(0)和f（x）的n +1阶导数

解答：
取g(x)=(x－1)(x－2...(x－n）,则
f(x)=x*g(x),
f'(x)=x*g'(x)+g(x),
∴f'(0)=g(0)=(-1)(-2).....(-n)=(-1)^n*n!.
下面求(n+1)阶导数。设
f(x)＝x^(n+1)+a1x^n+a2x^(n-1)+...+anx+a(n+1),
从第二项起，最高指数是n，所以求(n+1)阶导数时全部变成0。从而f(x)的(n+1)阶导数等于x^(n+1)的(n+1)阶导数，显然是：
(n+1)n*...*3*2*1=(n+1)!.

f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...+a（n＋1）*x^(n+1),其中a0＝0，a1＝(-1)^n*n!，a（n+1）=1.
f(x)的最高次方是n＋1，系数为1，故f(x)的n＋1阶导数为x^（n＋1)的n+1导数；而x^（n＋1)的n+1导数为（n+1）!,
一次系数为(-1)^n*n!,当系数高于1时它的一阶导数含有因式x，x＝0时为0，故f'(0)=(-1)^n*n!

f'(x)
=(x-1)..(x-n)+x(x-2)..(x-n)+x(x-1)(x-3).(x-n)+.+x(x-1)..(x-n-1)
f'(0)
=-1*(-2)..(-n)+0+0+..+0
=n!*(-1）^n
f(x)最高次项=x^（n+1）
x^(n+1)的n阶导数=(n+1)*n*.*1=(n+1)!
其他=0

最高次方是n+1次方，系数是1
则f（x）的n +1阶导数是1；
一次系数是n的阶乘所以f'(0)=（-n）!

f'(0)=(-n)!
n+1的就等于（n+1)!