麻烦数学天才们了，进来看看啦！

An=(1^1+2^2+3^3+...+n^n)/(n+1)^n
=n(n+1)(2n+1)/[6(n+1)^n]（平方和公式）
=n(2n+1)/[6(n+1)^(n-1)]
所以An<1等价于
n(2n+1)<6(n+1)^(n-1)
n=1时
n(2n+1)=2+1=3
6(n+1)^(n-1)=6*(1+1)^(1-1)=6
n(2n+1)<6(n+1)^(n-1)不等式成立

n=2时
n(2n+1)=2*(4+1)=10
6(n+1)^(n-1)=6*(2+1)^(2-1)=18
n(2n+1)<[6(n+1)^(n-1)]不等式成立

n>2时两边取对数,原式等价于
lg[n(2n+1)]<lg[6(n+1)^(n-1)]
lg[n(2n+1)]
=lg(n)+lg(2n+1)
<lg(n)+lg(2n+2)
=lg2+lg(n)+lg(n+1)
<lg2+2lg(n+1)
<lg6+2lg(n+1)
≤lg6+(n-1)lg(n+1)（这里n>2，所以n-1≥2)
=lg[6(n+1)^(n-1)]
所以n(2n+1)<6(n+1)^(n-1)不等式成立
所以An<1成立

回答者：艺朵草 - 魔法师 五级 11-7 22:33
说的极是,一个低级的错误
(是(1^1+2^2+3^3+..+n^n)<(n+1)^n)
上面的错了
1^2+2^2+..n^2=n(2n+1)(n+1)/6
(n+1)^n=n^n+C(n,1)n^(n-1)+...+C(n,n-2)n^2+C(n,n-1)n^1+C(n,n)n^0
=n^n+n*n^(n-1)+...+n(n-1)/2*(n^2)+n*n^1+1
>n^n+(n-1)^(n-1)+(n-2)^(n-2)+..+2^2+1^1+1
所以