大学的广义积分

记D为极坐标系中区域：0≤r≤a,0≤θ≤2π,
D上二重积分
∫∫(D)e^(-x^2-y^2)dxdy
=∫(0,2π)[∫(0,a)e^(-r^2)rdr]dθ
=π[1-e^(-a^2)].
记D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0},
D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0},
S={(x,y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
∫∫(S)e^(-x^2-y^2)dxdy
=[∫(0,R)e^(-x^2)dx]*[∫(0,R)e^(-y^2)dy]
=[∫(0,R)e^(-x^2)dx]^2.
D1包含于S包含于D2，e^(-x^2-y^2)>0,所以
∫∫(D1)e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫(S)e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫(S)e^(-x^2-y^2)dxdy,
(π/4)[1-e^(-R^2)]<[∫(0,R)e^(-x^2)dx]^2<(π/4)[1-e^(-2R^2)].
令R→+∞，上式两端趋于同一极限π/4，从而
∫(0,+∞)e^(-x^2)dx=√π/2.