两道高二的数学大题目 要过程

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 08:30:14
第一题

已知数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p>q，且p不等于1，q不等于1，设Cn=an+bn，Sn为数列{Cn}的前n项和，求Sn/S(n-1)的极限

第二题

设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t(t>0,n=2,3,4,...)
（1）求证，{an}是等比数列
（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}使得b1=1,bn=f(1/b(n-1))(n=2,3,4...),求bn
（3）求和：b1b2-b2b3+班背-...+b2n-1b2n-b2nb2n+1

(一)解：设San，Sbn分别为{an}{bn}前n项的和，有
San=a1(1-p^n)/(1-p)，Sbn=b1(1-q^n)/(1-q)
由Cn=an+bn得，Sn＝San+Sbn
＝a1(1-p^n)/(1-p)+b1(1-q^n)/(1-q)
Sn/S(n-1)＝[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^n-b1(1-p)q^n]/
[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^(n-1)-b1(1-p)q^(n-1))]
数列{an}{bn}都是由正数组成的等比数列，所以p>q>0,根据p与1的关系分两类讨论
1，当1>p>q,时，n—>oo,p^n—>0,q^n—>0,p^(n-1)—>0,q^(n-1)—>0,所以：
Sn/S(n-1)—>[a1(1-q)+b1(1-q)]/ [a1(1-q)+b1(1-q)]=1
2，当p>1时，1/p<1,q/p<1,n—>oo,(1/p)^(n-1)—>0,(q/p)^(n-1)—>0,(q/p)^n—>0，所以：
Sn/S(n-1)＝[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)q(q/p)^(n-1)]/
[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)(q/p)^(n-1))]—>p
综上： 当p<1时， limSn/S(n-1)＝ 1，
当p>1时， limSn/S(n-1)＝ p,
(二)解：（1）证明：当n>1时
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t
3t*S（n＋1)-(2t+3)Sn=3t
两式相减得：3t*a(n+1)-(2t+3)*an=0
故，a(n+1)/an＝2/3＋1/t（常数）
又，3t*S2-(2t+3)S1=3t*(a2+a