这是一道高1上的数学题帮忙解下

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/29 09:26:00
定义在(-1,1)上的函数F(X)对任意X Y∈(-1,1),都有F(X)+F(Y)=F(X+Y),且当X>0时,都有F(X)<0.
(1)求F(0)
(2)证明F(X)是(-1,1)上的减函数.
(3)若F(1-A)+F(1-A^2)<0,求实数A的取值范围.

(1)令Y=0,则
F(X)+F(0)=F(X+0)
即F(X)+F(0)=F(X)
=>F(0)=0……③

(2)令Y=-X,则
F(X)+F(-X)=F(0)
=>F(X)=-F(-X)……即为奇函数
当X>0时,都有F(X)<0，……①
则-X<0,F(-X)=-F(X)>0，
即
当X<O时，都有F(X)>0……②

令-1<X1<X2<0，
F(X1)-F(X2)
=F(X1)+F(-X2)
=F(X1-X2)……因为-1<X1-X2<0根据②
>0……证明了（-1，0）区间内递减

同理
令0<X1<X2<1，
F(X1)-F(X2)
=F(X1)+F(-X2)
=F(X1-X2)……因为-1<X1-X2<0根据②
>0……证明了（0，1）区间内递减

由①②③和以上递减区间的证明
可知
F(X)在(-1,1)上为递减函数

（3）由题意知
-1<1-A<1……④
-1<1-A^2<1……⑤
0<1-A+1-A^2<1……⑥
解由④⑤⑥组成的不等式组
得
（sqrt5-1）/2 < A < 1