请解释一下离散数学中各种群的定义以及之间的关系？

存在群结构的集合，若其某个子集上也存在这种群结构，就叫子群，

半群：群要求对其上的运算，必须有逆运算成立，
子群不要求存在逆运算，只要其运算满足结合律即可，

交换群：群的定义只说运算满足结合律，可以不满足交换律，
满足交换律的群，叫做交换群或者Abel群