UC知道高一函数！解析一下！
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 21:24:30
题目：
设函数y=f(x)是定义(0，+∞）上的函数。并且满足下面三个条件：①对任意正数x、y ，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x＞1时，f(x)＜0；
③f(3)=-1,
⑴求f(1)、f(1/9)的值；
⑵如果不等式f(x)+f(2-x)＜2成立，求x的取值范围；
⑶如果存在正数k，使不等式f(kx)+f(2-x)＜2有解，求正数k的取值范围。
求高手讲解下！能给我讲几小题就讲几小题吧，越详细越好！谢谢！
设函数y=f(x)是定义(0，+∞）上的函数。并且满足下面三个条件：①对任意正数x、y ，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x＞1时，f(x)＜0；
③f(3)=-1,
⑴求f(1)、f(1/9)的值；
⑵如果不等式f(x)+f(2-x)＜2成立，求x的取值范围；
⑶如果存在正数k，使不等式f(kx)+f(2-x)＜2有解，求正数k的取值范围。
求高手讲解下！能给我讲几小题就讲几小题吧，越详细越好！谢谢！
(1).
对于任意正数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)
令x=1,y=1
f(1·1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
令x=3,y=1/3
f(3·1/3)=f(3)+f(1/3)
f(1)=f(3)+f(1/3)
f(1/3)=f(1)-f(3)=0-(-1)=1
令x=1/3,y=1/3
f[(1/3)·(1/3)]=f(1/3)+f(1/3)
f(1/9)=2f(1/3)=2
(2).
令y=1/x
f(x·1/x)=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
0=f(x)+f(1/x)
f(x)=-f(1/x)
f(1/9)=-f(9)=2
f(9)=-2
f(x)+f(2-x)＜2
f[x(2-x)]-2＜0
f[x(2-x)]+f(9)＜0
f[9x(2-x)]＜0
f(-9x²+18x)＜0
-9x²+18x＞1
9x²-18x+1＜0
1-2√2/3＜x＜1+2√2/3
x的取值范围是1-2√2/3＜x＜1+2√2/3
(3).
f(kx)+f(2-x)＜2
f[kx(2-x)]-2＜0
f[kx(2-x)]+f(9)＜0
f[9kx(2-x)]＜0
f(-9kx²+18kx)＜0
-9kx²+18kx＞1
9kx²-18kx+1＜0
k＞0,则开口向上.由二次函数的图象可知,要使9kx²-18kx+1＜0有解,判别式须大于0
Δ=(-18k)²-4·9k=324k²-36k=36k(9k-1)＞0
得k＞1/9
正数k的取值范围是k＞1/9