遗产继承公证

老人已经去世了，
不可能再进行公证了。

只能是按遗嘱进行。
要是有书面的遗嘱比较好办理，
要是没有，比如口头的，打到法院后，主要是有个证明的过程。证明遗嘱真实存在并合法有效，也可以按遗嘱进行。

不知道你所说的第一继承人是指的什么，法律上只规定了第一顺序继承人和第二顺序继承人，第一顺序继承人就是配偶、父母和子女，第二顺序继承人就是祖父母、外祖父母、孙子女、外孙子女。
被继承人如果立有遗嘱，就根据遗嘱来进行继承。没有遗嘱就按照法定顺序进行继承。先第一顺序，如果没有，就按第二顺序继承。
公证遗嘱优于书面遗嘱优于口头遗嘱（要有2人以上没有继承关系的证明人）优于法定遗嘱
根据你提供的情况，既然有书面遗嘱，那就按照书面遗嘱来进行继承。