大学数学，伽罗瓦群（追加50分）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/04 19:51:56
求下列多项式在有理数Q域下的伽罗瓦群（Galois group）
a)x^5-2x^3-x^2+2
b)x^5-2
c)x^5-4x+2

每个15分，3个全答50分。
好歹也说明下步骤吧

延用"The Transitive Groups of Degree up to Eleven" by G. Butler and J. McKay, Communications in Algebra, 11(8) 1983.的记号.

x^5-4x+2的Galois group为:5T5, 即S5
x^5-2的Galois group为5T3,即S5中由：{"(1 2 3 4 5)", "(1 2 4 3)"}生成的子群．
x^5-2x^3-x^2+2的Galois group为S2直和S2

过程如下：

首先:
x^5-2x^3-x^2+2=(x-1)*(x^2-2)*(x^2+x+1)
所以Galois group=GAL(x^2-2)+GAL(x^2+x+1)
所以只能是S2直和S2．
再看：
x^5-2
候选的只有：5T5和5T3
我直接把五个根算出来，因为有非平凡的有理不变量，所以不可能是5T5
最后是：
x^5-4x+2 候选的只有：5T5和5T3
取素数，求x^5-4x+2的分解．得如下
p = 2 为 4, 1
p = 3 为 5
p = 5 为 2, 2, 1
p = 7 为 5
p = 11 为 5
p = 13 为 3, 2

补充上表运算举例：（p=5)
：x^5-4x+2＝(x^2+2*x+4)*(x^2+2*x+3)*(x+1)
所以为2，2，1
考虑到GL(f,p)是GL(f)的子群．
所以出现了3，2，可以排除：5T3

从而只有：5T5

够详细了吧？？？

不会，还没学