∠AOB=30度，∠AOB内部有一定点P，OP=10，在OA上找一点Q，在OB上找一点R，使三角形PQR周长最小，则是多少

设∠POA=θ,则∠POB=30°-θ. 作PM⊥OA与OA相交于M,并将PM延长一倍到E,即ME=PM.
作PN⊥OB与OB相交于N,并将PN延长一倍到F,即NF=PN.
联接EF与OA相交于Q,与OB相交于R,再联接PQ, PR,则△PQR即为周长最短的三角形.
这是因为按作图法,OA是PE的垂直平分线,故EQ=QP;同理,OB是PF的垂直平分线,故FR=RP,∴△PQR的周长=EF.
如果Q,R偏离现在的位置到Q1,R1,则新△PQ1R1的周长=折线EQ1R1F
的长>直线段EF的长.
下面确定△PQR的周长.也就是确定EF的长度.
由于OE=OF=OP=10cm,且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2(30°-θ)
=60°,∴△EOF是正三角形,∴EF=10cm.即在保持OP=10cm的条件下,△PQR的最小周长为10cm,而与P的具体位置无关.

作点E 与P关于OA对称；作点F 与P关于OB对称。
连接EF交OA、OB于Q、R两点，则△PQR的周长最短。
∠EOF=60°，OE=OP
∴△PQR的周长=EF=10cm。
证明：∵点E 与P关于OA对称，∴QE=QP，同理RF=RP。
∴EF=△PQR的周长。
若OA 上另有一点M，OB上另有一点N，则△PMN的周长=EM+MN+MF≥EF。