求证：正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线B1D与平面A1BC1互相垂直。

如图，设底面对角线的交点为O,对角线B1D与
平面A1BC1相交于P,则P一定在平面A1BC1与对
角面BB1D1D的交线B1O上。
∵BB1⊥A1C1. B1D1⊥A1C1,BB1∩B1D1=B1
∴A1C1⊥平面BB1D1D.
又B1D在平面BB1D1D内，∴B1D⊥A1C1.
设正方体的棱长为1，则在矩形BB1D1D中，
B1D1=√2,B1O=√2/2.
在Rt△B1D1D中，DD1/B1D1=1/√2=√2/2;
在Rt△BB1O中，OB1/BB1=(√2/2)/1=√2/2.
∴∠DB1D1=∠OBB1.∴B1P⊥BO,即B1D⊥BO.
又BO∩A1C1=O,∴B1D⊥平面A1BC1. http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/18b9fa312b8853a55fdf0ef6.html