dandelin双球如何证明

Dandelin双球定理（在空间中，取直线l为轴，直线l/与l相交于O点，其夹角为α， l/围绕l旋转得到以O为顶点，l/为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线）的证明于1822年完成，此定理说明了为什么把椭圆、双曲线、抛物线称为圆锥曲线。世界上不少国家把Dandelin双球定理纳入高中教学内容，这对培养学生的逻辑思维能力，空间想象能力大有益处．笔者给出一种简明的证法，供广大数学爱好者参考．
首先，我们应明白：平面 与圆锥相截，圆锥的高与平面 所成的角就是平面 与圆锥的截线的对称轴．

解：（如图1所示）设圆锥的顶点为 ，高为 ，设 与平面 相交于点 ，过 作平面 的垂线，垂足为 ，则∠ 就是圆锥的高与平面 所成的角．
由圆锥的对称性知道，直线 就是平面 与圆锥的截线的对称轴．它即是圆锥的轴截面与平面 的交线．

其次，我们应清楚：球与圆锥相切的圆所在的平面与平面 相交于 ， 就是截线的准线；截线的轴应与准线垂直．
（如图2所示）平面π与圆锥相截，一球位于圆锥的内部在平面π的上方，并且与平面π及圆锥均相切，F是球与平面 的切点．设球与圆锥相切的圆所在的平面与平面 相交于 ，平面 与圆锥的截线的轴线为 ，求证： , ．
证明：设圆锥面的顶点为O，轴为 ．过O作平面 的垂线 ，垂足为H．
过 与OH作平面
∵ OH⊥ ， ， ∴ ⊥ ． ∴ 关于 对称．
则 = ．
∵ 球的球心在 上，
∴ 球关于 对称．
∵ 球与 都关于 对称，
是球在 上的切点．
∴ 关于 的对称点 也是上球与 的公共点，
∴ 与 重合，在平面 上．
又 ， =
∴ ．
设球与圆锥面相切的圆所在平面为 ，
则 ，而 ．
∴ ．
又 ，而 ，∴ ，由 ，
故 ．

最后，我们才证明Dandelin双球定理。本人给出一种简洁明快的统一证法，它可以避开繁杂射影和平面几何的知识