U1,U2,...,Un为相互独立离散随机变量,X(n)=(U1+U2+...+Un)^2是否是马尔可夫链？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 07:50:18
求完整证明过程。

P(Xn=xn|X1=x1,...X(n-1)=x(n-1))
=P(X1=x1,...X(n-1)=x(n-1),Xn=xn)/P(X1=x1,...X(n-1)=x(n-1))
先看上式的分子
P(X1=x1,...X(n-1)=x(n-1),Xn=xn)
=P[U1^2=x1,(U1+U2)^2=x2,...,(U1+U2+...+Un)^2=xn]
=P[U1=x1^0.5,U1+U2=x2^0.5,...,U1+U2+...+Un=xn^0.5]
=P(U1=x1^0.5,U2=x2^0.5-x1^0.5,...,Un=xn^0.5-x(n-1)^0.5)
=P(U1=x1^0.5)*P(U2=x2^0.5-x1^0.5)...P(Un=xn^0.5-x(n-1)^0.5)(因为独立性）
同理可得分母
P(X1=x1,...X(n-1)=x(n-1))
=P(U1=x1^0.5)*P(U2=x2^0.5-x1^0.5)...P(U(n-1)=x(n-1)^0.5-x(n-2)^0.5)
故P(Xn=xn|X1=x1,...X(n-1)=x(n-1))＝P(Un=xn^0.5-x(n-1)^0.5)
而用同样的方法容易验证P(Xn=xn|X(n-1)=x(n-1))=P(Un=xn^0.5-x(n-1)^0.5)即P(Xn=xn|X1=x1,...X(n-1)=x(n-1))＝P(Xn=xn|X(n-1)=x(n-1))
所以Xn为马氏链

对的, 你的解法没有问题, 昨天是我加强了条件.