智力大挑战

任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=___153_______.

设找的这个数是3

3^3=27

2^3+7^3=8+343=351

3^3+5^3+1^3=153

既然这个数是固定的,那就随便找一个数,按照要求求得这个数即可.
假设这个数是123,则按照法则可得
1^3+2^3+3^3=1+8+27=36,
3^3+6^3=27+216=243,
2^3+4^3+3^3=8+64+27=99,
9^3+9^3=729+729=1458,
1^3+4^3+5^3+8^3=1+64+125+512=702,
7^3+0^3+2^3=343+8=351,
3^3+5^3+1^3=27+125+1=153,
1^3+5^3+3^3=153,
所以这个固定的数是T=153.

首先，如果会循环，那么这个数的各位数字的立方和等于这个数，
设这个数是 ∑ak*10^k, k从0到n，0<=ak<=9, an>0
那么 ∑ak*10^k = ∑ak^3
因为 10^n <= ∑ak*10^k = ∑ak^3 <= ∑9^3 = 729(n+1)
即 10^n <= 729(n+1)，得到 n <= 3

也就是说，这个数不超过4位，只能从0到9999，这个范围内满足
条件的数只有6个：0,1, 153, 370, 371, 407

另外，一个数被3整除，其各位数字和也被3整除（因为10除以3余1）
又因为 1^3 除以3余1，0^3除以3余0，2^3除以3余2，所以其各位
数字立方和也被3整除。就是说，这个操作不改变对3的余数。如果
最开始的数被3整除，结果也被3整除。

上面6个数中，3的倍数只有两个：0和153，去掉0