怎样将任意平面图形分割成面积相等的两个部份？

存在，有个前提，平面图形必须是连续的，就是不能是分块的，
从函数的角度考虑，用直线扫过图形，开始分得的面积是零，
最后分得的面积是全部，而且这个面积是连续增加的过程，
也就是存在一个位置点，使得正好分得一半面积。

是。
你假设用一把直的刀，把这个多边形一点一点切下来，直到切光为止
那么刚开始时，你切下的那部分小于一半，切着切着，就超过了一半。
而你又是一点点切的，一定在某个时候你恰好切了一半，此时刀的位置就是所求直线

不存在。
我举出一个反例：
要知道，线和点都是平面图形，但是它们都没有面积。所以我们不能用一条直线把它分成面积相等的两个部分。

将一任意四边形连接一条对角线，分成两个三角形，取两个三角形的几何中心（就是各边中线交点）连接两点，即可平分四边形。（过三角形中心的直线平分三角形）。