什么是勾股数？

勾股定理实际上是一个不定问题，因为它有无数组解。满足勾股定理 的有理数组( a , b , c ) 称为勾股数组，西方称为毕达哥拉斯数组。如何用公式表示出全部勾股数组，是二千多年来数学家们关注的问题。

从公元前五、六世纪的毕达哥拉斯开始，柏拉图、欧几里得等都做过努力，可是，他们的运算式并不能表示出全部勾股数组，因此不是通解公式。世界上第一次给出勾股数组通解公式的是《九章算术》勾股章「甲乙同所立」、「甲乙出邑中央」二问。前者是：「今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何？」显然，在勾股形中，甲行 c + a ，乙行b，而。

《九章算术》先求出南行率即勾率，东行率 b = mn，
斜行率，或
然后由已知的南行步数，利用今有术，便求出东行和邪行步数。

这裏勾、股、弦三率就是勾股数组的通解公式，后一个问题也给出此式。在现代数论中，其为通解的条件是 m , n 是互素的奇数。《九章算术》的两个例题都符合这个条件。刘徽用出入相补原理证明了这个公式。

在国外，数论界公认最先给出勾股数通解公式的是古希腊的丢番都，他大约与刘徽同时，比《九章算术》晚了四百多年，而且他的运算式需要经过变换，才如《九章算术》那样的规范。

定义:凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
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相关的解释:

①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。