高数(换位思想一题)

注意∫(上限是b,下限是a)f(a+b-x)dx
设t=a+b-x dt=-dx
x=b时，t=a
x=a时，t=b
∫(上限是b,下限是a)f(a+b-x)dx
=∫(上限是a,下限是b)[-f(t)]dt
=∫(上限是b,下限是a)f(t)dt
=∫(上限是b,下限是a)f(x)dx

令y=a+b-x
∫(上限是b,下限是a)f(a+b-x)dx
=∫(上限是b,下限是a)f(y)d(y-a-b)
=∫(上限是b,下限是a)f(y)dy

y就是另一个未知数,和x一样
就是∫(上限是b,下限是a)f(x)dx

设t=a+b-x，所以x=a+b-t t的上限是a（当x=上限b时），同样，t的下限是b
dx=d(a+b-t)=-dt
∫(上限是b,下限是a)f(a+b-x)dx=∫(上限是a,下限是b)-f(t)dt=-∫(上限是a,下限是b)f(t)dt
因为积分结果与变量名称无关，且上下限换位只需改变符号。所以
∫(上限是b,下限是a)f(a+b-x)dx=∫(上限是a,下限是b)-f(t)dt=-∫(上限是a,下限是b)f(t)dt＝∫(上限是b,下限是a)f(x)dx

注意：就好像高中学的f(x)=x^2+x+1可以写成f(t)=t^2+t+1