一道数学题太难了！~~~2008年初2期末考试最后一道题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 10:55:29
已知：如图（13），等边三角形ABC的边长为2，点P、Q分别从A、C两点同时出发,做匀速
运动,且它们的速度相同,点P沿射线AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,设PQ与直线AC相交
与于点D,作PE⊥AC于E,当P、Q运动时,线段DE的长是否改变?并证明你的结论。
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过点P做PM⊥BC于M，过点D做DF⊥BC于F，则PM‖DF
由于ABC为等边三角形，所以角B=角DCB=60度，AC=AB=BC=2
所以在直角三角形BPM、CDF中分别有BM=BP/2，CF=DC/2
由PM‖DF可得QM：QF=PM：DF
由于PM=BPsin60，DF=DCsin60
所以QM：QF=PM：DF=（BPsin60）:(DCsin60)=BP：DC
所以（MF+QF）：QF=BP：DC
MF/QF=（PB/DC）-1
所以MF=（PB/DC-1）*QF=（PB/DC-1）*（CF+CQ）
=（PB/DC-1）*（DC/2+CQ）=PB/2-DC/2+CQ*PB/DC-CQ
由于点P、Q分别从A、C两点同时出发,做匀速运动,且它们的速度相同，因此AP恒等于CQ
且在直角三角形APE中由于角A等于60度，故有AE=AP/2
由于2=BC=BM+MF+CF
所以2=PB/2+（PB/2-DC/2+CQ*PB/DC-CQ ）+DC/2
化简后得到PB+CQ*（PB/DC-1）=2
由于PB=AB-AP=2-AP，CQ=AP
所以有（2-AP）+AP*[（2-AP）/DC-1]=2
即DC=（2-AP）/2=PB/2
由于2=AC=AE+ED+DC=（AP/2）+ED+PB/2=ED+AB/2=ED+1
所以ED=1
因此当P、Q运动时,线段DE的长不变

图呢？