在一个三角形ABC中，CD垂直AB交AB于D，BE垂直AC交AC于E，且CD与BE相交于点F，连接AF。求证：AF垂直于BC。

就是证明三角形的高线交与一点
法1：设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。向量HA=向量a，向量HB=向量b，向量HC=向量c。
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以向量HA·向量BC=0，向量HB·向量CA=0，
即向量a·(向量c-向量b)=0，
向量b·(向量a-向量c)=0，
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
两式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
即向量HC·向量BA=0
故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。证毕

法2要证AX，BY，CZ相交于一点，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点．
证 分别过A，B，C作对边的平行线，则得到△A′B′C′(图略)．由于四边形A′BAC、四边形AC′BC、四边形ABCB′均为平行四边形，所以AC′=BC=AB′．由于AX⊥BC于X，且BC‖B′C′，所以AX⊥B′C′于A，那么AX即为B′C′之垂直平分线．同理，BY，CZ分别为A′C′，A′B′的垂直平分线，所以AX，BY，CZ相交于一点H

延长AF,交BC于G,连接DE,
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴A,D,F,E四点共圆,D,B,C,E四点共圆,
∴∠BAF=∠DEF,∠DEF=∠DCB,
∴∠BAF=∠DCB,
∵CD⊥AB,
∴∠CBD+∠DCB=90°,
∴∠CBD+∠BAF=90°,
∴AF⊥BC.

你好！很高兴能够帮助你！
以BC为直径，过点D C做半圆，以AF为直径过点D E 做圆(设AF延长线角BC于Q)
有以下条件可知AF垂直于BC

角EBC=EDC=EAF
角BFQ=EFA
又角EAF+角EFA=90度
则角EBC+角BFQ=90度

晕