高数一题 讨论二元函数的可导性

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 12:06:23
讨论可导性 这是一个分段的二元函数：
当（x^2 +y^2)不等于0时 f(x,y)=(xy) /(x^2+y^2)
当（x^2 +y^2)等于0时,f(x,y)= 0

二元函数的偏导数存在并且相等,并不能保证该函数二维可导. 比如这个函数:

f'x|(0,0)=lim_{x->0} f(x,0) = 0
f'y|(0,0)=lim_{y->0} f(0,y) = 0

但是,这只是表明,沿着坐标轴逼近原点,偏导数为零. 但是二维可导要求以任何方式逼近,导数都相等. 这里的话,我们可以考虑从y=x这条斜线上逼近原点。

f'|(0,0)=lim_{x->0} f(x,x) = 1/2

所以，二元倒数不存在。

(x,y)=/=(0,0)时显然可偏导，(x,y)=(0,0)时
f'x(0,0)=lim[f(x,0)-f(0,0)]/x=0 (x->0)
f'y(0,0)=lim[f(0,y)-f(0,0)]/y=0 (y->0)
对x，y均可偏导