圆锥曲线：椭圆

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/09 04:15:24
已知椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),过其左焦点F(-1,0)斜率为1的直线交椭圆于P,Q两点，若向量OP+向量OQ与向量a=（-3，1）共线，求椭圆的方程。

答案为（2 x^2)/3+2y^2=1
请给出过程！

有焦点为(-1,0)所以c=2,故a^2-B^2=4
直线斜率为1,过(-1,0),可以得到方程为y=x-1,带入椭圆方程得到:
(x^2)(a^2+b^2)-2x(a^2)+a^2-(ab)^2=0
根据韦达定理,X1+X2=2(a^2)/(a^2+b^2),带入y=x-1
得到Y1+Y2=X1+X2-2=2(a^2)/(a^2+b^2)-2

设P(X1,Y1),Q(X2,Y2),OP+OQ=(X1+X2,Y1+Y2)和向量a共线,所以有(Y1+Y2)/(X1-X2)==1/(-3),带入上面的式子

故可得到:3(b^2)=a^2,与a^2-B^2=4联立,可以得到
a^2=3/2,b^2=1/2,所以答案为
（2 x^2)/3+2y^2=1