简单几何啊啊在线等。圆

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/12 00:40:08
如图已知圆O直径AB与弦CD相交于点G，E是CD延长线上一点，连结AE交圆O于F，连结AC、CF。若AC的平方=AF*AE。
求证：AB垂直于CD。

（已证出三角形ACF相似于三角形AEC）
图：http://img84.imageshack.us/img84/7541/381lz2.png

麻烦过程详细些！谢谢。

证明：连接BC
因为AC^2=AF*AE可得AC/AF=AE/AC
可得三角形ACF相似于三角形AEC
所以角AFC等于角ACD
AC是圆上一条弦
角AFC等于角ABC
所以角ACD等于角ABC
在三角形ABC和三角形AGC中
角BAC等于角CAG
角ACG等于角ABC
所以角ACB等于角AGC
又因为AB是直径
所以角ACB=90度
即角AGC=90度
所以AB垂直于CD

因为三角形ACF相似于AEC.所以角AFC等于角ACE.所以弧AC等于弧AD.又因为AB为直径,所以弧AFB等于弧ACB.弧 AFB-弧AD等于弧ACB-弧AC,即弧BD等于弧BC.即AB平分弧CD.根据垂径定理可得AB垂直于CD.

连AD，因为相似，角ACF=AED，因为角FAD=FCD，所以EAD+AED=FCE+FCA，所以角ACD=ADC，所以弧DB=BC，因为AB过圆心，垂径定理，AB垂直DC。