奥数高手来看看（要详细过程）

1.为了庆祝2001年的到来，有人用相同大小的红色和蓝色方瓷砖砌了一个方形平台。在造型中除了两条主对角线用2001块蓝色瓷砖外，其他全都用红色瓷砖。一共用了多少红色瓷砖？
2.A=11的N次方+22的N次方*N+33的N次方*N+44的N次方*N+55的N次方*5
99以内，有多少N使A不能被5整除。（最好写下来）

1.边长(2001+1)/2=1001
红瓷砖数=1001^2-2001=1000000
2.先找能被5整除时的N
A=11^N+22^N*N+33^N*N+44^N*N+55^N*5
=11^N(1+N(2^N+3^N+4^N)+5^N*5)
11^N是不能被5整除的
只要N(2^N+3^N+4^N)除以5余4就行了
N从0到99
2^N，3^N，4^N除以5的余数分别以
1 2 4 3
1 3 4 2
1 4 1 4
为周期
所以2^N+3^N+4^N除以5的余数是以
3 4 4 4（对应相加）
为周期（周期为4）
而N除以5的余数是以
0 1 2 3 4
为周期（周期为5）
故N(2^N+3^N+4^N)除以5的余数
的周期为4*5=20（最小公倍数）
总共有5个周期(100/20)
一个周期内的余数为4的个数可以这样求：
把
3 4 4 4 和
0 1 2 3 4
逐个相乘
只有3*3，4*1，4*1，4*1时余数为4
注意3 4 4 4中的4不能作为一个处理
故1个周期内有4个，5个周期中有20个
N有80个值使A不能被5整除

也可以
分别设N=4k，4k+1，4k+2，4k+3（k=0,1...24）
N(2^N+3^N+4^N)除以5的余数为
12k 16k+4 16k+8 16k+12
化简： 2k k+4 k+3 k+2
找除以5余4的k，
2k时，k=2，7，12，17，22
k+4时，k=0，5，10，15，20
k+3时，k=1，6，11，16，21