微积分题,高手请进,急!

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 07:14:21
圆锥体纸杯以 2 cm^3 /秒 的速度漏水,已知杯面的半径是5cm,杯高15cm.请问当水深3CM的时候,水平面降低的速度是多少?

请列出详细解答过程!!谢谢

估计是倒圆锥吧。。。不然怎么漏阿。
h/r=15/5=3
r=h/3
V=pi*h*r^2/3=pi*h^3/27
dV/dh=Pi*h^2/9
dV/dt=2
dV/dt=(dV/dh)*(dh/dt)=2
所以，dh/dt=2/(dV/dt)=2/(Pi*h^2/9)=(带入h=3)2/pi
答案是 2/pi

如果是个倒圆锥
当水深3cm时
3 : 15 = r : 5
r = 1cm

V = 1/3 pi r^2 h
dV/dt = 1/3 pi r^2 dh/dt
dh/dt = 2 * 3 /pi / 1
dh/dt = 6/pi cm/s
降低速度6/pi cm/s

如果是个正圆锥
当水深3米时
12 : 15 = r : 5
r = 4
V = 1/3 pi r^2 h
dV/dt = 1/3 pi r^2 dh/dt
dh/dt = 2 * 3 /pi / 16
dh/dt = 3/8pi cm/s
降低速度3/8pi cm/s

同意sciencefan的意见，
2*dt=S*dh（t为时间，h为水面下降高度，S为水面面积）
又U=dh/dt（U为水面下降速度）
则U=2/S

不用很复杂的微积分:
流水速度除以面积即可.
这是物理上最基本的流量公式!