关于函数和解析几何中的对称问题

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
一、函数自身的对称性探究
定理1.函数 y = f (x)的图象关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图象上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图象上，∴ 2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图象上任一点，则y0 = f (x0)
∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图象上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图象关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
定理2. 函数 y = f (x)的图象关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）
推论：函数 y = f (x)的图象关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图象同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图象同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图象既关于点A (a ,c) 成中心对称又关