数的由来

无 理 数 的 发 现 —— 第 一 次 数 学 危 机

大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上?quot;危机"，从而产生了第一次数学危机。

到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观阌屑?蟪寤鳌U獗砻鳎?负窝У哪承┱胬碛胨闶跷薰兀?负瘟坎荒芡耆?烧??捌浔壤幢硎荆?粗?纯梢杂杉负瘟坷幢硎境隼矗???娜ㄍ?匚豢?级?。??负窝У纳矸萆?吡恕N；?脖砻鳎?本鹾途?椴灰欢?康米。?评碇っ鞑攀强煽康模?哟讼＠叭丝?贾厥友菀胪评恚?⒂纱私?⒘思负喂?硖逑担?獠荒懿凰凳鞘??枷肷系囊淮尉薮蟾锩??

无 穷 小 是 零 吗 ？ —— 第 二 次 数 学 危 机

18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召