三角形ABC与三角形CDE为任意大小的正三角形,B.C.D在同一直线上.连接BE 连接AD相交于O点.求证:BO=AO+OC

过O作OX平行于AB交BD于X，OY平行于DE交BD于Y
AC=BC CD=CE 角ACD＝角BCE
三角形ACD全等于三角形BCE
AD＝BE＝x AB=a CD =b
显然OXY为正三角形 OX=c
AO/AD=BX/BD
AO/x=BX/BD
BO/BE=BY/BD
BO/x=BY/BD
(BO-AO)/x=(BY-BX)/BD=XY/BD
由上面的全等，显然AOC相似于COE
角CAO＝角ECO
角BAD＝角OCY
又角ABD＝角OYC＝60
故ABD相似于CYO
故CO/x=CO/AD=OY/BD=XY/BD
所以（BO－AO）/x＝CO/x
故BO＝AO+CO

不知道你学到什么程度，要是学了共圆，直接证相似，在证共圆，再用托勒密定理会方便很多
要是还没学相似，就再费点力气到比例吧～～

没那么麻烦的...
因为CE=CD,BC=AC
∠ACD=∠BCE
所以△BCE≌△ACD
因为∠CAD+∠ADC=60°
而由全等得∠CAD=∠CBE
所以∠CBE+=∠ADC=∠AOB=60°
在BO上截取AO=OF,又因为∠AOB=60°
所以△AOF是正三角形
现在只需证BF=OC
即只需证△ABF≌ACO
而AB=AC
AF=AO
∠BAF=∠CAO
所以△ABF≌△ACO
所以BF=OC
即AO+OC=OF+BF=BO
所以命题得证

由△ABC与△CDE均为正三角形知：AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠BCE=120°
所以△ACE≌△BCE，从而∠CAD=∠CBE，
所以点A、B、C、O四点共圆，则∠BOC=∠BAC=60°

在OB上截取OF，使OF=CO，则由∠BOC =60°知：△COF也为正三角形
因此CF=CO，另外，BC=AC，∠BCF=∠ACO=60°-∠FCA
所以△BCF