设f(x)是区间(a,b)上的连续函数，a ＜x1＜x2＜x3＜b，证明：至少有一ξ∈(a,b)，

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/21 11:37:28

设f(x)是区间(a,b)上的连续函数，a ＜x1＜x2＜x3＜b，证明：至少有一ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=1/3 [f(x1)+f(x2)+f(x3)]

∵f(x)是区间(a,b)上的连续函数
∴f(x)在区间(a,b)上必有最大值Fmax,也必有最小值Fmin

同时，对于任一实数r ,若有Fmin≤r≤Fmax，则：
直线 y = r与曲线 y = f(x)必有至少1个交点，即：
至少有一ξ∈(a,b)，使得f(ξ) = r

现考察1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≤ 1/3 ×（Fmax+Fmax+Fmax）= Fmax；
同理：1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)]≥Fmin

令r = 1/3 ×[f(x1)+f(x2)+f(x3)],即得所求结论。

设f(x)是区间[a,b]上的单调函数,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b] 设f(x)是区间(a,b)上的连续函数，a ＜x1＜x2＜x3＜b，证明：至少有一ξ∈(a,b)，设f(x)=x3+2x2+3.是否在区间[a,b]~(-无穷,0]使f(x)在区间[a,b]上的值域为[ka,kb]? 设向量a=(1,x),b(x,1) 夹角的余弦值为 f(x),则函数 f(x) 的单调递增区间是？单调递减区间？ f(x)在[a,b]上单调,则f(x+3)必为单调区间的是? 已知函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且f(a)f(b)＜0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上的根的个数是_____ 设函数f(x)=(x+a)/(x+b) (a＞b＞0),求函数的单调区间，证明其在单调区间上的单调性设函数y=f(x)的定义域为区间(a,b),且g(x)=f(x=1),则函数g(x)的定义域是区间是? 设函数y=f(x)的定义域为区间(a,b),且g(x)=f(x=1),则函数g(x)的定义域是区间是?请分析得具体一些.详细一些. 已知函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，a，b是锐角三角形的两个内角