1的平方＋2的平方＋。。＋N的平方，怎么算？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 17:30:58
大家都知道结果，但是我要算法！具体的算法，不是归纳法证明。
好了100分等大家！
我要求高中生可以看懂，积分可以，但是水平太高了！
那个用恒等式的，我不说你什么了，你还不如一楼的直接告诉我答案的呢！
一楼的我也不说你了，我都说了，答案大家都知道的！
看见那个用积分算的了吗？那就是一种具体算法。

好证：利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

说清楚你想要什么。

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2
= 1^2 + 2^2 + ... + N^2
= 3(1^2 + 2^2 + ... + N^2)/3
= 3(1^2 + 2^2 + ... + N^2)/3 + (1 + 2 + ... + N) - N(N+1)/2 + (1+1+...+1)/3 - N/3
= 3(1^2 + 2^2 + ... + N^2)/3 + 3(1 + 2 + ... + N)/3 + (1+1+...+1)/3- N(N+1)/2 - N/3
= (2^3-1^3 +3^3-2^3 +4^3-3^3 +...+(N+1)^3-N^3)/3- N(N+1)/2 - N/3
= (N+1)^3/3 - 1/3 - N(N+1)/2
= N(N+1)(2N+1)/6

突然发现用高数的逐项求导很方便的，先令f(n)=n^2，f(n)导数=2n，求和出来为（1+2n）*n/2,然后对它积分，下限为1，上限到n，积分出来就行了。

N(N+1)(2N+1)/6