关于数列的求证 1的平方+2的平方+。。。。+(n-1)的平方值求方

方法1：n^2=[(n+1)^3-n^3]/3-n-1/3
两边都从1到n求和
左边为所求
右边=[(n+1)^3]/3-n*(n+1)/2-n/3
=n*(n+1)*(2*n+1)/6

或者

先取一辅助数列：记为sigma(n)=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)，将其配成这样：sigma(n)={1*2*(3- 0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3=n*(n+1)*(n+2)/3，又Sn+ n*(n+1)/2=sigma(n)，
所以Sn=sigma(n)-n*(n+1)/2=n*(n+1)*(2n+1)/6。

方法2：数学归纳法
n=2的时候，1＝(1*2*3)/6=1

如果对n－1的时候成立，则有1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6
那么对于n的时候
1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＋n的平方
＝((n-1)n(2n-1))/6+n*n
＝n/6*(2n^2-3n+1+6n)
＝n/6*(n+1)(2n+1)
＝[(n+1-1)(n+1)(2(n+1)-1)]/6
所以对n的时候也成立

由以上，可以知道1的平方＋2的平方+3的平方+．．．．+（n-1）的平方＝(（n-1）n(2n-1))/6

方法3：待定系数法
设1^2+2^2+...+n^2=a*n^3+b*n^2+c*n
将n=1、2、3分别代入，解方程组可得a=1/3
b=1/2
c=1/6

设s=1^2+2^2+3^2.....+(n-1)^2
因为n^3-(n-1)^3=[n-(n-1)][n^2+n(n-1)+(n-1)^2]
=2n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3