UC知道向量组的秩(证明)高手帮帮忙！
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/05 15:25:52
证明的过程有点不懂的地方：
“用矩阵的秩和向量组的秩的关系证明：r(AB)≤min{r(A),r(B)}”
解：设A，B分别是m*n矩阵和n*k矩阵，AB=C，则C是m*k矩阵，
C=(y1,y2,...yk),A=(a1,a2,...an)，（B中的元素用b表示）
y1=b11a1+b21a2+...+bn1an,
y2=b12a1+b22a2+...+bn2an,
......
yk=b1ka1+b2ka2+...+bnkan
这里是C的列向量组可由A的列向量线性表出。所以r(AB)≤r(A)
然后要如何证明r(AB)≤r(B)，以及r(AB)≤min{r(A),r(B)}?
还有一个问题：像这样的三个矩阵，如果让C的向量可以用A中向量表出，要怎么分块ABC，有什么简便的方法吗？什么情况是按列分什么情况是按行分？像这道题为什么是按列分，如果按行分呢？有点糊涂。
“用矩阵的秩和向量组的秩的关系证明：r(AB)≤min{r(A),r(B)}”
解：设A，B分别是m*n矩阵和n*k矩阵，AB=C，则C是m*k矩阵，
C=(y1,y2,...yk),A=(a1,a2,...an)，（B中的元素用b表示）
y1=b11a1+b21a2+...+bn1an,
y2=b12a1+b22a2+...+bn2an,
......
yk=b1ka1+b2ka2+...+bnkan
这里是C的列向量组可由A的列向量线性表出。所以r(AB)≤r(A)
然后要如何证明r(AB)≤r(B)，以及r(AB)≤min{r(A),r(B)}?
还有一个问题：像这样的三个矩阵，如果让C的向量可以用A中向量表出，要怎么分块ABC，有什么简便的方法吗？什么情况是按列分什么情况是按行分？像这道题为什么是按列分，如果按行分呢？有点糊涂。
我给你做了个答案，放我的空间里了，你看一下吧
http://hi.baidu.com/lovesophialove/blog/item/a87dac24f6ae2d37c89559b9.html
y1...yk的极大线性无关数等于AB的秩
y1...Yk可以用A1.。。An线性表示，那么
y1...Yk的极大无关数肯定小于等于A1.。。An
所以r(AB)≤r(A)
第二个问题不怎么明白
y1...yk的极大线性无关数等于AB的秩
y1...Yk可以用A1.。。An线性表示，那么
y1...Yk的极大无关数肯定小于等于A1.。。An
所以r(AB)≤r(A)
说下我的解释：
首先有定理：向量组A能被向量组B线性表出，则rank(A)<=rank(B)
现在看上面的题
C=A*B
(1)
[y1 y2 ... yn]=[a1 a2 .. an]*[b11 b12 ..]
[b21 b22 ..]
[bn1 bn2 ..]
(2)
[c1] =[a11 a12..][b1]
[c2] [a21 a22..][b2]
[cn] [an1 an2..][b3]
也就是说第一种分法把C,A按列分块，可得出C的列向量组可由A的列向量组线性表出
第二种分法把C,B按行分块，可得出C的行向量组可由B的行向量组线性表出
根据三秩合一
rank(C)<=rank(A)
且rank(C)<=rank(B)
rank(C)比rank(A)，rank(B)任意一个都小
当然有ra