数学应用题,帮帮忙啊

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 04:16:50
在铁道线上有一点A和原料供应站B,AB相距100公里,在铁路线外有一工厂C,AC连线垂直AB,AC的距离为20公里,已知汽车运费为m元/吨*公里,火车运费为n元/吨*公里,(m<n),现在AB间选一点D,由D向C修一公路,使由B运材料到C的运费最省,问:D应选在何处?

解：
设：在距离A处X公里修建D。
总运费S=m*CD+n*BD
=根号下（x^2+20*20)*m+(100-x)*n
对x求导：
S~=mx*根号下(x^2+400) -n=0
解得：x=+-20n/根号下（m^2-n^2）
舍去负的，只有一个极值点即为最值点

假设 BD 之间距离为x公里
那么每吨运费为
E = x * n + m * (20^2 + (100-x)^2)^(1/2)
根据 平方和公式有 a^2 + b^2 >= 2ab当a=b时等号成立
有
nx = m * (20^2 + (100-x)^2)^(1/2) 时运费最少为2nx
n^2 * x^2 = m^2 * (20^2 + (100-x)^2)
= 400m^2 + m^2 * (10000 - 200x + x^2)
= 10400m^2 - 200m^2x + m^2x^2
(n^2-m^2)x^2 + 200m^2x - 10400m^2 = 0

x = { -200m^2 +- [40000m^4 + 4*10400m^2*(n^2-m^2)]^(1/2) } / [2(n^2-m^2)]

= { -200 +- [40000 + 4*10400*((n/m)^2-1)]^(1/2) } / [2((n/m)^2-1)]

x>0, n>m
所以
x = 100{ -1 + [1 + 1.04*((n/m)^2-1)]^(1/2) } / ( (n/m)^2 - 1 )
此时运费最小，为
E = 200n * { -1 + [1 + 1.04*((n/m)^2-1)]^(1/2) } / ( (n/m)^2 - 1 )

x=+-20n/根号下（m^2-n^2）
舍去负的，只有一个极值点即为最值点