.求内接于半径为R的半圆而周长最大的矩形的各边边长.

可以证明，内接于半圆的矩形一定有一条边重合于半圆的直径。证明并不困难，但此处没有图形的配合，证明从略。
设矩形重合于直径的边长为a，垂直于直径的边长为b。显然有
(a/2)^2+b^2=R^2
则 a=2[√(R^2-b^2)]
矩形的周长变量为y，则y=2a+2b=4[√(R^2-b^2)]+2b
y'=(-4b)/[√(R^2-b^2)]+2
令 y'=0,即(-4b)/[√(R^2-b^2)]+2=0
解得b=(√5)R/5
又因为y''=(-4*R^2)/[(R^2-b^2)^1.5]<0
故y=4[√(R^2-b^2)]+2b在b=(√5)R/5时取得最大值。
再求得a=2[√(R^2-b^2)]=4(√5)R/5

设矩形为ABCD，那么AB^2+BC^2=R^2，要2（AB+BC）最大，
因为【（AB+BC）/2】^2<=AB^2+BC^2
当且仅当AB=BC时，上式取等，
所以矩形个边长为2分之根号2R

√2R/5,4√2R/5