求证任意两个不同奇数的平方差的绝对值能被8整除

证明：不妨设较大的奇数为2m-1，较小奇数为2n-1。其中m,n是自然数且m>n，则
（2m-1）2-(2n-1)2=(2m-2n)(2m+2n-2)=4(m-n)(m+n-1)
当m和n都是奇数或都是偶数时，m-n一定是偶数，上式能被8整除。
当m和n一奇、一偶时，m+n-1一定是偶数，上式能被8整除。
故任意两个不同奇数的平方差的绝对值一定能被8整除。

我来设m1,m2为两个不同奇数,则
m1=2n+1,m2=2k+1 ,其中n,k不同.
m1^2-m2^2
=(2n+1)^2-(2k+1)^2
=(2n+2k+2)(2n-2k)
=4(n+k+1)(n-k)
对于任意两个自然数n，k(无论奇偶)，
明显 n+k ，与n-k的奇偶性相同
因而 n+k+1，与n-k的奇偶性不同，
所以 (n+k+1)(n-k)一定为偶数 （奇数*偶数为偶数），为2的倍数。
4(n+k+1)(n-k)为8的倍数，得证。

设这两个奇数分别为（2n+1）和（2m＋1）（n,m为整数）
不妨再设n>m
则其平方差为4（n^2-m^2)＋4（n-m)
＝4（n-m)（n+m+1)
易证得n-m与n+m+1中至少有1个偶数
所以原命题成立

设两个奇数分别为2m+1和2n+1
平方差为A=4m方+4m-4n方-4n=4（m-n）（m+n+1）
若m、n均为奇数或偶数，则m-n为2的倍数，A可被8整除；
若m、n分别为一奇一偶，则m+n+1为2的倍数，A也可以被8整除。
证毕

很简单的，设两个奇数分别为2m+1,2n+1

则(2m+1)的平方-（2n+1)的平方
=4m2+4m+1-4n2-4n-1
=4(m2+m-n2-n)
=4(m+n+1)(m-n)

如果m,n都是奇数，或者都是偶数，则m-n是偶数，4(m+n+1)(m-n)是8的倍数
如果m是奇数n是偶数，或者m是偶数n是奇数，则(m+n+1)是偶数，4(m